تکانه: تعریف، فرمول‌ها، پایستگی و کاربردها در فیزیک

تکانه چیست؟ (Momentum)

تکانه، که گاهی به آن اندازه حرکت نیز گفته می‌شود، یک کمیت فیزیکی مهم است که از حاصل ضرب جرم یک جسم (m) در سرعت آن (v) به دست می‌آید. به عبارت دیگر:

تکانه = جرم × سرعت

از آنجایی که سرعت یک کمیت برداری است (یعنی هم اندازه و هم جهت دارد)، تکانه نیز یک کمیت برداری است. این یعنی تکانه هم اندازه دارد و هم جهت، و جهت آن همواره با جهت حرکت جسم یکسان است. معمولاً تکانه را با حرف p نشان می‌دهند.

تکانه در درک و تحلیل حرکت اجسام و نیروهای وارد بر آن‌ها نقش بسیار مهمی دارد.

فرمول محاسبه تکانه

فرمول اصلی و ساده برای محاسبه تکانه به این صورت است:

p = mv

در این فرمول:

• p نشان‌دهنده تکانه است.
• m نشان‌دهنده جرم جسم است.
• v نشان‌دهنده سرعت جسم است.

واحد اندازه‌گیری تکانه: در سیستم SI (سیستم استاندارد بین‌المللی یکاها)، واحد اندازه‌گیری تکانه کیلوگرم در متر بر ثانیه (kg.m/s) است.

تجزیه تکانه به مولفه‌های برداری

از آنجایی که تکانه یک کمیت برداری است، می‌توان آن را به مولفه‌های برداری در راستاهای مختلف تجزیه کرد. تصور کنید که در یک فضای سه بعدی با محورهای x، y و z قرار دارید. در این صورت، تکانه نیز در هر یک از این راستاها یک مولفه خواهد داشت.

این مولفه‌ها به صورت زیر محاسبه می‌شوند:

• تکانه در راستای x: px = mvx
• تکانه در راستای y: py = mvy
• تکانه در راستای z: pz = mvz

در اینجا vx، vy و vz مولفه‌های سرعت در راستاهای x، y و z هستند.

بازسازی تکانه از مولفه‌ها: برای به دست آوردن تکانه کلی (p) می‌توان مولفه‌های برداری آن را با هم جمع کرد:

p = px + py + pz = mvx + mvy + mvz

این جمع، یک جمع برداری است و برای انجام آن نیاز به دانش برداری و مثلثات است.

قانون پایستگی تکانه

یکی از مهم‌ترین ویژگی‌های تکانه در فیزیک، پایستگی آن است. به این معنی که تکانه کل یک سیستم (مجموع تکانه‌های تمام اجزای آن) همواره ثابت می‌ماند، مگر اینکه جسم جدیدی حامل تکانه وارد سیستم شود یا از آن خارج گردد.

اهمیت پایستگی تکانه: این قانون به فیزیکدانان اجازه می‌دهد تا بدون دانستن جزئیات دقیق یک رویداد (مانند برخورد)، با اندازه‌گیری تکانه قبل و بعد از آن، اطلاعات مفیدی درباره سیستم به دست آورند.

مثال: برخورد دو توپ بیلیارد (برخورد کشسان): در یک برخورد کشسان (Elastic collision)، انرژی جنبشی سیستم حفظ می‌شود. برای تحلیل این برخورد نیازی به بررسی دقیق رویدادهای حین برخورد نیست. کافی است تکانه توپ‌ها را قبل (p1i و p2i) و بعد از برخورد (p1f و p2f) محاسبه کنیم. قانون پایستگی تکانه بیان می‌کند:

pT = p1i + p2i = p1f + p2f

که در آن pT تکانه کل سیستم است. با دانستن برخی از این مقادیر، می‌توان مقادیر مجهول را محاسبه کرد.

برخورد ناکشسان (Inelastic Collision): در این نوع برخورد، بخشی از انرژی جنبشی به گرما و صدا تبدیل می‌شود. با این حال، قانون پایستگی تکانه همچنان برقرار است:

pT = p1i + p2i = p1f + p2f

برخورد کاملاً ناکشسان (Perfectly Inelastic Collision): در این نوع برخورد، اجسام به هم می‌چسبند و بیشترین مقدار انرژی جنبشی از دست می‌رود. مثال: شلیک گلوله به یک قطعه چوب. در این حالت:

m1v1i + m2v2i = (m1 + m2)vf

با اندازه‌گیری سرعت قطعه چوب پس از برخورد (vf) و دانستن جرم‌ها (m1 و m2)، می‌توان سرعت اولیه گلوله (v1i) را محاسبه کرد.

تکانه و قانون دوم نیوتن

قانون دوم نیوتن بیان می‌کند که مجموع نیروهای وارد بر یک جسم (Fsum) برابر است با حاصل ضرب جرم جسم (m) در شتاب آن (a). شتاب، نرخ تغییر سرعت نسبت به زمان است (dv/dt).

با استفاده از حساب دیفرانسیل و انتگرال، می‌توان نشان داد:

Fsum = ma = m * dv/dt = d(mv)/dt = dp/dt

بنابراین، مجموع نیروهای وارد بر یک جسم برابر است با مشتق تکانه نسبت به زمان. این رابطه، به همراه قانون پایستگی تکانه، ابزاری قدرتمند برای محاسبه نیروهای وارد بر یک سیستم است.

اثبات قانون پایستگی تکانه با استفاده از قانون دوم نیوتن: در یک سیستم بسته (Isolated system)، مجموع نیروهای خارجی وارد بر سیستم صفر است (Fsum = 0). در نتیجه:

dPsum/dt = 0

این یعنی مجموع تکانه‌های موجود در سیستم با گذشت زمان تغییر نمی‌کند و تکانه کل سیستم (Psum) ثابت می‌ماند. این همان قانون پایستگی تکانه است!